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計算力をつけるために、数に関する感覚を身につけるというには非常に重要です。
今回は約数に関する感覚をつけるために、倍数を素早く見分ける方法を紹介します。
5の倍数の判定法
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5の倍数は末尾の数字が0か5
これは多くの人が知っているでしょうか。
2,4,8…の倍数の判定法
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2の倍数は下1桁が2の倍数
4の倍数は下2桁が4の倍数
8の倍数は下3桁が8の倍数
2の倍数かどうか、つまり偶数かどうかを知りたければ下1桁を見ればいい。これは多くの人が知っていることでしょう。
では、4の倍数かどうかを見分けるには、どうすればいいでしょう。答えは下2桁を見ればいいんです。
具体例:Q.「832744」は4の倍数かどうか
A.下2桁の44が4の倍数だから4の倍数。
下二桁以外の8327は無関係
4の倍数を下2桁で見分けられる理由
理由:下2桁以外を考えると、(整数)×100=(整数)×25×4 隣必ず4で割り切れる
次に、8の倍数かどうかを見分けるには、どうすればいいでしょう。答えは下3桁を見ればいいんです。
具体例: Q.「782836168」は8の倍数かどうか
A.下3桁の168が8の倍数だから8の倍数
下3桁以外の782836は無関係
8の倍数を下3桁で見分けられる理由
理由:下3桁以外を考えると、(整数)×1000=(整数)×125×8 となり必ず8で割り切れる
16の倍数かどうかは下4桁、32の倍数かどうかは下5桁…という感じです。
3,9の倍数の判定法
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3の倍数は
各位の数字の和が3の倍数
9の倍数
は各位の数字の和が9の倍数
3の倍数かどうかを知りたければ、各位の数字を足した結果が3の倍数になっているかを調べればいいです。つまり、各位の数字を足す作業を3の倍数かどうかがわらるまで繰り返せばいいんです。具体例を見るとわかりやすいでしょう。
具体例: Q.「702375」は3の倍数かどうか
A. 7+0+2+3+7+5=24
2+4=6
6は3の倍数だから702375は3の倍数
3の倍数が各位の和で判断できる理由
abcde=a×10000+b×1000+c×100+d×10+e
=a×9999+b×999+c×99+d×9+a+b+c+d+e
=3(a×3333+b×333+c×33+d×3)+a+b+c+d+e
a+b+c+d+e(各位の数字の和)が3の倍数であれば元の数字も3の倍数になります。
では、9の倍数かどうかはどうすれば判定できるでしょう。
これは、3の倍数の時と同じように、各位の数字を足す作業を繰り返して、その結果が9の倍数であれば元の数字は9の倍数、9の倍数でなければ元の数も9の倍数ではありません。具体例で見てみましょう。
具体例: Q. 「37910577312」は9の倍数かどうか
A. 3+7+9+1+0+5+7+7+3+1+2=45
4+5=9
9は9の倍数だから37910577312は9の倍数
9の倍数が各位の数字の和で判断できる理由
abcde=a×10000+b×1000+c×100+d×10+e
=a×9999+b×999+c×99+d×9+a+b+c+d+e
=9(a×1111+b×111+c×11+d×1)+a+b+c+d+e
a+b+c+d+e(各位の数字の和)が9の倍数であれば元の数字も9の倍数になります
11の倍数の判定法
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11の倍数は奇数番目の数字の和と偶数番目の数字の和の差が0または11の倍数
11の倍数の判定法はあまり知られていないかもしれません。言葉ではわかりにくいですから具体例を見てみましょう。
具体例①: Q.「72963924」は11の倍数かどうか
A.奇数数目の数字の和は、7+9+3+2=21
奇数番目の数字の和は、2+6+9+4=21
2つの差は0だから、元の数字は11の倍数
具体例②: Q.「684372909」は11の倍数かどうか
A.奇数番目の数字の和は、6+4+7+9+9=35
偶数番目の数字の和は、8+3+2+0=12
2つの差は22で11の倍数だから、元の数字は11の倍数
偶数番目と奇数番目に和の差で11の倍数が判定できる理由
abcde=a×10000+b×1000+c×100+d×10+e
=a×9999+b×1001+c×99+d×11+a-b+c-d+e
=11(a×909+b×91+c×9+d)+a-b+c-d+e
a-b+c-d+e(偶数番目と奇数番目の数字の差)が11の倍数であれば元の数字も11の倍数になります。
7の倍数の判定法
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7の倍数に関しては、覚えておくと便利な判定法はありません。
7の倍数を足したり引いたりしてキリの良い数にして7の倍数かどうかを判定するのがいいでしょう。
754692は7の倍数か。下一桁の2がキリ良くなるような7の倍数の28を足して754720
次に75472が7の倍数か考えます。
下一桁の2がキリ良くなるような7の倍数の28を足して、75500
次に755が7の倍数か考えます。700は7の倍数で、55は7の倍数ではありませんから、元の数は7の倍数ではありません。
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